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Álgebra Lineal

Espacios y vectores - Material

Vectores

Introducción

Espacios de coordenadas reales

Sumando vectores

Multiplicando un vector por un escalar

Ejemplos de vectores

Notación del vector unidad

Representación paramétrica de rectas

Combinaciones lineales y espacios generados

Introducción

Introducción a la independencia lineal

Introducción

Más sobre independencia lineal

Espacios generadores

Subespacios y bases para un supespacio

Subespacios lineales

Base de un subespacio

Producto punto y producto cruz de vectores

Producto escalar de un vector y longitud del vector

Demostrando las propiedades del producto escalar vectorial

Demostrando las propiedades del producto escalar vectorial

Demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Desigualdad del triángulo de vectores

Definiendo el ángulos entre vectores

Definiendo un plano en R3 con un punto y un vector normal

Introducción al producto cruzado

Demostración: Relación entre el producto cruz y el seno de un ángulo

Comparación/Intuición del producto cruzado y producto escalar

Vector normal a partir de la ecuación del plano

Vector normal a partir de la ecuación del planoDistancia entre punto y plano

Distancia entre planos

Matrices para resolver sistemas por eliminación

Matrices 1

Matrices 2

Matrices 3

Espacio nulo (Núcleo) y espacio columna

Producto de una Matriz por un Vector

Introducción al espacio nulo de una matriz

Espacio Nulo 2: Calculando el espacio nulo de una matriz

Espacio nulo 3: Relación con la Independencia lineal

Espacio columna de una matriz

Bases del espacio nulo y del rango

Visualizando un espacio columna como un plano en R3

Visualizando un espacio columna como un plano en R3Demostración: Cualquier base de un subespacio tiene el mismo número de elementos

Dimensión del espacio nulo o nulidad

Dimensión del espacio columna o rango

Mostrar la relación entre columnas bases y columnas pivotantes

Transformaciones de matrices - Material

Funciones y transformaciones lineales

Una comprensión más formal de las funciones

Una comprensión más formal de las funciones

Transformaciones vectoriales

Transformaciones lineales

Transformaciones linealesProducto de Matrices y vectores como transformaciones lineales

Transformaciones lineales como producto de matrices y vectores

Imagen de un subconjunto bajo una transformación

im(T): Imagen de una transformación

Preimagen de un conjunto

Preimagen de un conjuntoEjemplos de la preimagen y núcleo

Sumas y múltiplos escalares de transformaciones lineales

Más sobre suma de matrices y multiplicación escalar

Ejemplos de transformaciones lineales

Reflexiones y escalado

Rotaciones en R2

Rotación alrededor del eje x en R3

Vectores unitarios

Introducción a las proyecciones

Expresando una proyección en una recta como un producto de matrices y vectores

Transformaciones y multiplicación de matrices

Composición de transformaciones lineales 1

Composición de transformaciones lineales 2

Ejemplos de producto de matrices

Asociatividad del producto de matrices

Propiedad distributiva del producto de matrices

Funciones y transformaciones inversas

Introducción a la inversa de una función

Invertibilidad implica una única solución para f(x)=y

Funciones suprayectivas (sobre) e inyectivas (uno a uno)

Relacionando la invertivilidad con ser sobreyectiva y uno a uno

Determinando si una transformación es suprayectiva

Explorando la solución de Ax = b

La condición de la matriz para una transformación uno a uno

Simplificando las condiciones para invertibilidad

Simplificando las condiciones para invertibilidadMostrando que las Inversas son lineales

Encontrando inversas y determinantes

Derivando un método para determinar inversas

Ejemplo de búsqueda de la matriz inversa

Fórmula para la inversa 2x2

Determinante 3 x 3

Determinante n x n

Determinantes a lo largo de otras filas/columnas

Determinantes de la regla de Sarrus

Más profundidad en el determinante

Determinante cuando se multiplica una fila por un escalar

multiplicación por escalar de una fila

Determinante cuando se suma a una fila

Determinante de filas duplicadas

Determinante después de las operaciones de filas

Determinante después de las operaciones de filasDeterminante triangular superior

Determinante de 4x4 más sencillo

El determinante y el área de un paralelogramo

Determinante como factor de escala

La traspuesta de una matriz

Introducción

IntroducciónDeterminante de la transpuesta

Transpuesta del producto de matrices

Transpuesta de sumas e inversas

Transpuesta de un vector

Espacio fila y espacio nulo izquierdo

Visualizaciones del espacio nulo izquierdo y el espacio de fila

Rango(a) = Rango(transpuesta de a)

Mostrando que A transpuesta x A es invertible

Sistemas de coordenadas alternativos (bases) - Material

Complementos ortogonales

dim(V) + dim(complemento ortogonal de V) = n

Representación de vectores en Rn usando miembros del subespacio

Complemento ortogonal del complemento ortogonal

Complemento ortogonal del espacio nulo

Solución única para el espacio de fila de Ax = b

Ejemplo de solución de espacio de fila de Ax = b

Proyecciones ortogonales

Proyecciones en subespacios

Visualizando una proyección en un plano

Una proyección sobre un subespacio es una transformación lineal

Ejemplo de matriz de proyección subespacial

Otro ejemplo de una matriz de proyección

La proyección es el vector más cercano en el subespacio

La proyección es el vector más cercano en el subespacioAproximación por mínimos cuadrados

Ejemplos de mínimos cuadrados

Otro ejemplo de mínimos cuadrados

Cambio de base

Coordenadas respecto a una base

Matriz de cambio de base

Matriz de cambio de baseMatriz invertible de cambio de base

Matriz de transformación con respecto a una base

Matriz de transformación con respecto a una baseEjemplo alternativo de matriz de transformación de base

Ejemplo alternativo de matriz de transformación de base 2

Cambiando el sistema coordenado para ayudar a encontrar la matriz asociada a una transformación

Bases ortonormales y el método de Gram-Schmidt

Introducción a las bases ortonormales

Coordenadas con respecto a bases ortonormales

Proyección en subespacios con bases ortonormales

Ejemplo de encontrar la proyección en el subespacio con base ortonormal

Ejemplo del uso de la matriz de cambio de base ortogonal para encontrar la matriz de transformación

Las matrices Ortogonales preservan ángulos y longitudes

El método de Gram-Schmidt

Ejemplo del método de Gram-Schmidt

Ejemplo de Gram-Schmidt con una base de 3 vectores

Eigentodo

Introducción a los autovalores y autovectores

Demostración de la fórmula para encontrar valores propios

Ejemplo sobre obtener los eigenvalores de una matriz de 2x2

Ejemplo de hallazgo de vectores y espacios propios

Eigenvalores de una matriz de 3x3

Eigenvectores y eigenespacios de una matriz 3x3

Mostrando que las eigenbases son buenas para los sistemas coordenados